Entieres-cours

3 Series entieres3.1 De nitions et notations.De nition 1 Une serie entiere est une serieXna xnoux est un nombre reel ou complexe eta est le terme general d’une suite de nombresnreels ou complexes.Ce sont des sommes in nies de puissances de x. Elles generalisent les polyn^ omes.Exemples 1Pn{ Si a = 0 lorsque n>p alors a x = .n nPn{ Si a = 1 pour tout n alors x est une serie geometrique.nPnRemarque 1 Sijxj< 1 la serie x est une fonction dex et on peut la calculer :+1Xnx = :n=0P Pn nLemme 1 Si la serie a X converge etjxjR, la serie diverge.Ce nombre est appele le rayon de convergence de la serie.Preuve. { . . .26PnDe nition 2 Soit a x une serie entiere de rayon de convergenceR. L’ensemblendes x tels quejxj