Cours transformation de fourier

Transformation de FourierMise en oeuvre sous OctaveB. Torr¶esani28 janvier 20051 S¶eries de FourierAu d¶ebut du 19iµeme siµecle, Joseph Fourier, alors pr¶efet de l’Isµere, proposed’utiliser des d¶ecompositions de fonctions comme somme de sinuso˜‡des pourr¶esoudre l’¶equation de la chaleur, et des ¶equations aux d¶eriv¶ees partielles dela m^eme famille. Ce programme marque le d¶ebut d’une nouvelle µere de l’ana-lyse math¶ematique, car, comme l’¶ecrit B. Hubbard, Fourier a non seulementd¶ecouvert un ¶enonc¶e math¶ematique, mais a aussi montr¶e en quoi il ¶etait utile.L’analysedeFourieraainsitrµeslargementd¶epass¶eledomainedesmath¶ematiquespures,pourdevenirunoutildebaseduscientiflqueetdel’ing¶enieur.Ellesepr^eteadmirablement au calcul num¶erique et scientiflque, et l’objectif de ce cours estde donner une introduction µa l’analyse de Fourier dans sa version num¶erique,en se basant sur l’environnement Octave.1.1 Rappels sur les s¶eries de FourierOn sait que toute fonction d¶eflnie sur un intervalle [a;b] ‰ R peut ^etred¶ecompos¶ee en s¶erie de Fourier, c’est µa dire sous forme de s¶erie de sinus etcosinus : on ¶ecrit alors, pour toute fonction fµ ¶ µ ¶1 1X Xt tf(t) =a + a cos 2…k + b sin 2…k :0 k kb¡a b¡ak=1 k=1Les coe–cients a et b sont alors obtenus en calculantk k Z b1a = f(t)dt ;0b¡a a µ ¶Z b2 ta = f(t) cos 2…k dt ;kb¡a b¡aaet Z µ ¶b2 tb = f(t) sin 2…k dt ;kb¡a b¡aa12 Universit¶e de Provence, CTES, S41M2, ann¶ee 2004-05On peut ¶egalement ...