Cours sur les variétés affines

666Varietes a nesSoit F un corps algebriquement clos. Soit n un entier, n 0.n nEspace a ne de dimension n sur F , noteA ou simplementA , c’est l’ensembleFnF =FF =f(a ;:::;a )j a 2Fg1 n in(produit direct de n copies de l’ensemble F ). Elements deA sont appeles points. Pourntout point P = (a ;:::;a )2 A , les elements a ;:::;a sont les coordonnees du point1 n 1 nP .On note par A la F -algebre F [x ;:::;x ] des polyn^ omes a coe cients dans F en n1 nvariables x ;:::;x . Tout f2A determine une application (fonction)1 nnA !F; P = (a ;:::;a )7!f(P ) =f(a ;:::;a ):1 n 1 nL’ensemble des zeros de cette fonction, note Z(f), est appele l’ensemble des zeros dupolyn^ ome f. Ainsi doncnZ(f) :=fP2A j f(P ) = 0g:Plus generalement, pout tout sous-ensemble TA, on noteZ(T ) l’ensemble des zeroscommuns des polynomes^ de T :\nZ(T ) = Z(f) =fP2A j f(P ) = 0 8f2Tg:f2TComme dans le cas de T =ffg on prefere la notation allegee Z(f) a Z(ffg), on ecritaussi Z(f ;:::;f ) pour Z(ff ;:::;fg).1 r 1 rDe nition.nUn sous-ensembleYA est dit un ensemble algebrique, siY =Z(T ) pour unTA.Lemme.Tout ensemble algebrique est l’ensemble des zeros communs(1) d’un ideal aA;(2) d’un ensemble ni de polyn^ omes.Preuve. (1)Z(T ) =Z(a), ou a = l’ideal engendre parT . (2) L’anneauA est noetherien,l’ideal a est donc engendre par un nombre ni d’elements. Proposition.nLes ensembles algebriques sont les ensembles fermes d’une topologie surA ...