Cours sur les polynomes et extensions séparables

Chapitre 7S´eparabilit´e7.1 Polynˆomes et extensions s´eparablesD´efinition7.1.1. a) SoitK un corps commutatif. Un polynˆome irr´eductibleP 2K[X] est s´eparable sur K si et seulement s’il n’a pas de racine multipledans son corps de d´ecomposition.b) Un polynˆome P 2 K[X] est s´eparable sur K si et seulement si ses fac-teurs irr´eductibles sont s´eparables. Dans le cas contraire, on dit que P estins´eparable.Proposition 7.1.2. a) Si K est de caract´eristique nulle, un polynˆ omeirr´eductible de K[X] est toujours s´eparable.b) Si K est de caract´eristique p > 0, un polynˆ ome irr´eductible de K[X] estpins´eparable si et seulement s’il appartient `a K[X ].D´efinition 7.1.3. Soit f : K ! L une extension alg´ebrique (tout ´el´ementde L est alg´ebrique sur K).a) Un ´el´ement 2L est s´eparable si et seulement si son polynˆome minimalest s´eparable.b) L’extension est s´eparable si et seulement si tous les ´el´ements de L sonts´eparables.Proposition 7.1.4. Soit k ! K ! L une tour d’extension. Si k ! L ests´eparable, alors k!K et K!L sont s´eparables.D´efinition 7.1.5. Un corps K est parfait si et seulement si toute extensionalg´ebrique est s´eparable.Remarque 7.1.6. Tout corps de caract´eristique z´ero est parfait.467.2 Corps parfaits de caract´eristique nonnulleOn rappelle que sur un corps K de caract´eristique p> 0, l’application :K ! Kpx 7! xest un homomorphisme, appel´e homomorphisme de Frobenius. Comme ho-momorphisme de corps, il est toujours ...