Cours sur les fonctions polynomes - 1S

FONCTIONS POLYNÔMES1. Fonction polynôme de degré quelconque1.1. DéfinitionOn appelle fonction polynôme (à coefficients réels) de degré n (n ˛  ) toute fonction P définie sur  dontl'écriture peut se ramener à la forme :n n–1 P(x) = a x + a x + ... + a x + a où a , a , ... , a réels avec a „ 0n n–1 1 0 0 1 n npLe terme a x s'appelle monôme de degré p. On note n = deg(P).pExemples et contre-exemples :6 4• La fonction P définie par P(x) = 7x – 5x + 3x – 11 est une fonction polynôme de degré 6.p• Toutes les fonctions puissances d'exposants entiers : p(x) = x (p ˛) sont des fonctions polynômes de0degré p (avec la convention 0 = 1 lorsque p = 0).• Les fonctions affines x a ax + b, avec a „ 0, sont des fonctions polynômes de degré 1.• Les fonctions constantes x a k, avec k „ 0, sont des fonctions polynômes de degré 0.13• La fonction Q définie par : Q(x) = x + x + n'est pas une fonction polynôme.x4x - 1• Attention aux faux-amis ! La fonction ƒ définie par ƒ(x) = est une fonction polynôme de degré 2, car2x + 14x - 12après simplifications, on obtient ƒ(x) = x – 1. Cependant, la fonction g définie par g(x) = n'est pas2x - 1une fonction polynôme car non définie pour x = –1.Remarques :• Une fonction polynôme à coefficients réels est continue sur  . (Voir leçon sur le calcul différentiel)n n–1 • Une fonction du type P(x) = a x + a x + ... + a x + a où tous les coefficients a , a , ... , a sont desn n–1 1 0 0 1 nréels nuls s'appelle la fonction polynôme ...