cours sur les fonctions génératrices des variables aléatoires

Chapter 9Fonctions g´en´eratrices des variablesal´eatoires `a valeurs dans NSommaire9.1 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 689.2 Calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 699.3 Loi et fonction g´en´eratrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 709.4 Fonction g´en´eratrice et ind´ependance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 709.5 Fonction g´en´eratrice et moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70Objectifs:• Introduire un objet qui caract´erise la loi d’une variable al´eatoire a` valeurs dansN: la fonction g´en´eratrice.Mots-cl´es:• fonction g´en´eratrice, rayon de convergence.Outils:• liens entre la loi et la fonction g´en´eratrice,• calcul de l’esp´erance et de la variance `a partir de la fonction g´en´eratrice.Techniques de d´emonstration: R´esultats sur les s´eries enti`eres.9.1 D´efinitionD´efinition 9.1 Soit X une variable al´eatoire a` valeurs dans N. On d´efinit sa fonction g´en´eratrice g parX+∞Xkg (s) = s P(X =k).Xk=0Remarque: 1. Si X ne prend qu’un nombre fini de valeurs, g est un polynˆome en s, elle est donc d´efinie sur RXtout entier.2. Si X prend un nombre d´enombrable de valeurs,g est une s´erie enti`ere en s: on doit donc se demander pourXquelles valeurs de s cette s´erie est bien ...