Cours sur les extensions de corps

Chapitre 6Extensions de corps :g´en´eralit´esTous les corps consid´er´es dans ce chapitre et le suivant sont commutatifs.6.1 Th´eorie de baseRappel : La caract´eristique d’un corps est soit z´ero, soit un nombre premier.D´efinition 6.1.1. Si K et L sont des corps, on appelle morphisme de corpstout morphisme d’anneau f :K→L. Un tel morphisme est injectif et aussiappel´e extension deK. Le degr´e de l’extension, not´e [L :K] est la dimensionde L comme espace vectoriel sur K.Proposition 6.1.2. a) Si K est un corps de caract´eristique nulle, alors ilexiste une unique extension f :Q→K.b) Si K est un corps de caract´eristique p > 0, alors il existe une uniqueextension f :F =Z/pZ→K.pD´efinition 6.1.3. L’image de l’homorphisme pr´ec´edent s’appelle le sous-corps premier deK : c’est le plus petit sous-corps deK.0Proposition 6.1.4 (Tour d’extensions). Soit f : K → L, g : L → L unetour d’extension, alors :0 0[L :K] = [L :L][L :K] .416.2 Construction d’extensions6.2.1 Corps de rupture d’un polynˆome irr´eductibleSoit P ∈K[X] un polynˆome irr´eductible, alors K[X]/(P) est un corps.Proposition 6.2.1. L’extension K→K[X]/(P), avec P ∈K[X] polynˆ omeirr´eductible, est une extension de degr´e deg(P).6.2.2 Adjonction d’´el´ementsSoit f : K → L une extension de corps, et α ∈ L. On note K(α) le pluspetit sous-corps de L qui contient f(K) et α; on l’appelle extension de Kengendr´ee par α. On d´efinit de mˆeme l’extension K → K(A) engendr´ee parune partie A⊂L ...