cours sur les courbes paramétrées

Chapitre 6Courbes param´etr´ees41´ ´42 CHAPITRE 6. COURBES PARAMETREES6.1 Courbes d’´equation y = f(x)Pour ´etudier une courbe d’´equation y = f(x) (ou simplement ´etudier unefonction f), le sch´ema est le suivant :– On commence par chercher l’ensemble de d´efinition de la fonction f.Eventuellement, si la fonction est paire/impaire, p´eriodique, on peutrestreindre l’intervalle d’´etude.– On cherche si on peut prolonger f par continuit´e.– On ´etudie la d´erivabilit´e de f. La plupart des fonctions «en pratique»!sont d´erivables (et mˆeme C ) sur leur ensemble de d´efinition, maisattention, ¸ca n’est pas toujours le cas (racine carr´ee, arcsin...). Si on aprolong´elafonctionf,on´etudie´egalementlad´erivabilit´eau(x)point(s)de prolongement.– On ´etudie les variations de la fonction f (la plupart du temps en ´etu-diant le signe de la d´eriv´ee).– On cherche les limites de f aux bornes de son ensemble de d´efinition.– On r´esume les deux ´etapes pr´ec´edentes dans le tableau de variations def.– Eventuellement, on ´etudie les asymptotes obliques (s’il y en a).– On trace la courbe. La courbe est un moyen de r´esumer graphiquementtoutes les ´etapes pr´ec´edentes. Il ne sert `a rien de placer ´enorm´ement depoints pour la tracer. Il faut (et il su!t de) placer les ´el´ements carac-t´eristiques d´etermin´es au cours de l’´etude : on trace les asymptotes, onplace les points ou` il y a des tangentes horizontales, des tangentes ver-ticales, ´eventuellement ...