Cours sur le calcul matriciel

Calcul matricielYves LafontFaculté des Sciences de Luminy - Licences MASHS-MI-SPC - Année 1 - Semestre 2.2006Yves Lafont est enseignant-chercheur à la Faculté des Sciences de Luminy. Il effectue sa recherche à l’Institut deMathématiques de Luminy dans les domaines de l’algèbre, la logique et l’informatique théorique.Site personnel : http://iml.univ-mrs.fr/∼lafontSite du cours : http://iml.univ-mrs.fr/∼lafont/licence/cm.html2 Faculté des Sciences de Luminy - Licences MASHS-MI-SPC - Année 1 - Semestre 2.1 Calcul vectoriel1.1 Scalaires et vecteurspDans ce cours, un scalaire est un réelλ∈R, et un vecteur est unp-upletu = (x ,...,x )∈R .1 p~Notation : On utilise le symbole0 pour le vecteur nul(0,...,0). Autre notation en usage : 0.Les opérations sur les scalaires sont la sommeλ+ et le produitλ, qui vérifient les identités suivantes :(λ+)+ν =λ+(+ν), λ+0 =λ, λ+ =+λ,(λ)ν =λ(ν), 1λ =λ, λ =λ, (λ+)ν =λν +ν, 0λ = 0.De plus, tout scalaireλ a un opposé−λ tel queλ+(−λ) = 0. On écritλ− pourλ+(−).−1 −1 −1Enfin, tout scalaire non nulλ a un inverseλ tel queλλ = 1. On écritλ/ pourλ .Les opérations sur les vecteurs sont la sommeu+v et le produit externeλu, qui vérifient les identités suivantes :(u+v)+w =u+(v +w), u+0 =u, u+v =v +u,(λ)u =λ(u), 1u =u, (λ+)u =λu+u, 0u = 0, λ(u+v) =λu+λv, λ0 = 0.On écrit−u pour(−1)u etu−v pouru+(−v), de sorte queu−u = 0.Exercice 1 : En utilisant ces propriétés, montrer que siλu = 0, alorsλ = 0 ouu = 0.Interprétation ...