Cours sur la valeur absolue - Classe de seconde

VALEUR ABSOLUE ET ENCADREMENTS1. Distance entre deux nombres réels1.1. Définition : On appelle distance ou écart entre 2 réels x et y, la distance sur la droite numérique entre lespoints d'abscisses x et y ; on la note d(x ; y).Exemples :Sur la droite réelle, on considère les points ci-dessous :A D BO C–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4On a alors :d(0 ; –4) = OA = 4 d(–3 ; –4) = DA = 1 d(0 ; –3) = OD = 3d(1 ; 3) = BC = 2 d(0 ; 3) = OC = 3 d(–3 ; 3) = DC = 61.2. Cas particulier :? x si x est positifLa distance entre 0 et x est égale à : ? - x si x est negatif?Autrement dit : d(0 ; x) = max(-x ; x)De même, pour la distance entre deux réels x et y, on est amené à distinguer deux cas :? y - x si y est plus grand que xLa distance entre x et y est égale à : ? x - y si x est plus grand que y?Conclusion : d(x ; y) est parmi les différences y – x et x – y celle qui est positive.Autrement dit : d(x ; y) = max(y - x ; x - y)Remarque : la notion de distance est symétrique : d(x ; y) = d(y ; x).2. Valeur absolue d'un nombre réel2.1. Définition : On appelle valeur absolue d'un réel x la distance (ou l'écart) entre 0 et x. On la note |x|.On a donc : |x| = d(x ; 0).2.2. Autres caractérisations :• |x| = max(-x ; x).? 1 si x > 0?• |x| = x · sgn(x) où sgn est la fonction "signe" définie par sgn(x) = 0 si x = 0 .??- 1 si x < 0?2• |x| = x .Exercice : écrire sans les valeurs absolues l'expression :|x - 2| + |2x + 1|1 1(On pourra faire un tableau en distiguant les trois ...