Cours sur la théorie de galois

Chapitre 8Th´eorie de GaloisNotation : On note (L :K) l’extension K L.8.1 Extensions normalesD´efinition 8.1.1. Une extension f : K ! L est normale si et seulement sitout polynˆome irr´eductible de K[X] qui admet une racine dans L est scind´edans L.Th´eor`eme 8.1.2. Soit f :K !L une extension. Il y a ´equivalence entre :a) l’extension est normale et de degr´e fini;b) L est corps de d´ecomposition d’un polynˆ ome unitaire de K[X].D´efinition 8.1.3. Une clˆoture normale d’une extension de degr´e fini :0f :K !L est une extension g :L!L telle que0a) l’extension gf :K !L est normale, et0b) g :L!L est minimale pour la propri´et´e a).Proposition 8.1.4. Toute extension admet une clˆ oture normale, unique `aisomorphisme pr`es.8.2 Groupe de GaloisD´efinition8.2.1. a)UnautomorphismeducorpsK estunhomomorphismebijectif de K dans lui-mˆeme.b) Un automorphisme d’une extension (L : K) est un automorphisme de Lqui fixe les ´el´ements de K (dont la restriction a` K est l’identit´e).49Proposition 8.2.2. Les automorphismes d’un corps K forment un groupe :Aut(K). Les automorphismes d’un extension (L : K) un groupequ’on appelle groupe de Galois de l’extension : Gal(L;K) ou Gal(L :K).Remarque 8.2.3. Lorsque K est le sous-corps premier de L,Gal(L :K) = Aut(L).Proposition 8.2.4. Soit H un sous-groupe d’un groupe de GaloisHGal(L :K), alors l’ensemble L des ´el´ements fix´es par tous les ´el´ements deH est un sous-corps de L qui contient K : le corps fixe de H.8.3 ...