Cours sur la fonction carrée

7Chapitre 13Fonction carrée - Fonction inverseI La fonction carréeExercice : Livre : Activité 1 page 121Introduction et premières propriétés.Définition2La fonction carrée est la fonction f définie surR par f(x) = x . On a donc : f :R−→R2x→ f(x) = xPropriété Parité de la fonction carréeNous savons que :◮ En langage usuel : Tout réel et son opposé ont le même carré.2 2◮ En langage Mathématique : Pour tout réel x, on a (−x) = x ou f(−x) = f(x).On dit que f est une fonction paire surR.Remarque : D’autres fonctions sont paires, la fonction carrée sera la fonction de référence pourcette propriété.On étudie ensuite les variations de la fonction : lecture graphique sur calculatrice et conjecture du tableaude variations.Propriété Variations de la fonction carréeOn a le tableau de variations suivant :La fonction carrée est :x −∞ 0 +∞strictement décroissante sur ]−∞ ; 0]etfstrictement croissante sur [0 ; +∞[.0+Démonstration: On fait l’étude surR = [0 ; +∞[.+ 2 2Pour tous réels a, b deR avec a < b, f(a)−f(b) = a −b = (a−b)(a +b).Comme on a a< b, on en déduit (a−b) < 0.Comme 06a < b, on en déduit (a+b) > 0.Puis, par la règle des signes : f(a)−f(b) < 0 ⇐⇒ f(a)< f(b).+On a donc obtenu surR ,les antécédents a, b sont rangés dans la même ordre que leurs images f(a), f(b).+La fonction carrée est donc strictement croissante surR .−Puis par parité, la fonction carrée est strictement décroissante surR .42bbbbbbbbbbbbbbII. LA FONCTION INVERSE ...