Cours sur la continuite en terminale S et plus - Bacamaths

CONTINUITÉ d'une fonctionToutes les fonctions considérées dans ce chapitre sont définies sur  ou une partie de et sont à valeurs dans  .Les intervalles considérés sont non vides et non réduits à un point.1. Fonction continue en un point1.1. Définition Continuité en un pointSoient I un intervalle, ƒ une fonction définie (au moins) sur I et a ˛ I.On dit que ƒ est continue en a lorsque ƒ admet une limite en a égale à ƒ(a).En formulant différemment cette définition, on obtient plusieurs variantes toutes équivalentes :En effet, dire que ƒ(x) = ƒ(a) signifie :limxafi(1)• quel que soit l'intervalle ouvert J centré en ƒ(a), les nombres ƒ(x) sont tous dans J pour x proche de a. (Cette formulation étant encore trop vague, on lui préfèrera l'une des suivantes)• quel que soit l'intervalle ouvert J centré en ƒ(a), il existe un intervalle K centré en a tel que pour tout x de I : x ˛ K Þ ƒ(x) ˛ Jy (Lire "x dans K implique ƒ(x) dans J") Autrement dit, quelle que soit la "bande horizontale centrée en ƒ(a)", on peut trouver un intervalle K centré en a dont l'image est dans laƒ(a) + e bande.ƒ(a) J ƒ(a) - e Cƒ a - h a + ha x K* *• quel que soit e ˛  (la largeur de J), il existe h ˛ (la largeur de K) tel que pour tout x ˛ I :+ +Remarque : l'usage des valeurs|x - a| < h Þ |ƒ(x) - ƒ(a)| < eabsolues est ici bien pratique. ParCe qui s'écrit avec les quantificateurs " (quel que soit) et $ (il existe) :exemple, |x - a| < h signifie :* *"e ˛ , $h˛ , "x ˛ I, ...