cours scond derge 2007

Chapitre 3 : Polynôme du second degré a x² + b x + c ( a ≠ 0) 1) Transformation d’écriture Exemples : • x² - 2x + 1 = ( x – 1 )² • x² - 4 = ( x-2) ( x+2) • x² + 2x – 8 = ( x² + 2x + 1 ) – 1 – 8 = ( x+1)² - 9 = ( (x + 1 )-3) ( (x + 1) + 3 ) = ( x-2) ( x + 4 ) Cas général : b c b b c b b² -4ac ²ax²+bx+c = a[ x² + x + ]= a [ ( x + )² - + ] =a[( x + )² - ] : forme canonique (factorisée)  a a 2a 2a a 2a 4a² b b² -4ac = a( x + )² - : forme canonique 2a 4a 2) Discriminant ΔΔΔΔ = b² - 4ac est appelé discriminant du trinôme a x² + b x + c 3) Résolution de l’équation ax²+bx+c = 0 Trois cas se présentent : b• si ΔΔΔΔ = 0 alors a x² + b x + c = 0 admet une seule solution (appelée racine) : - 2a- b - Δ - b + Δ • si Δ > 0 alors a x² + b x + c = 0 admet deux racines réelles distinctes : x = et x = 1 22a 2a• si Δ < 0 alors a x² + b x + c = 0 n’admet aucune racine. exemple : résoudre 2 x² - x + 1 =0 : Δ = (-1)² - 4 *2*1 = 1-8 = -7 <0 donc n’admet aucune racine. -1+7 3 -1-7-2x² + x + 6 = 0 : Δ = 49 ; x1 = = - et x2 = = 2 2*(-2) 2 2*(-2) 4) Factorisation : b• si Δ = 0 alors a x² + b x + c = (x - )² 2a• si ΔΔΔΔ > 0 alors a x² + b x + c = a( x – x ) ( x – x ) : 1 2• si Δ < 0 alors a x² + b x + c ne peut pas se factoriser. 5) Signe d’un polynôme du second degré Exemple 1 : - 2 x ² - 2 x + 12 : Δ = (-2)² -4 x(-2)x12 = 10² > 0 - 2 x ² - 2 x + 12 = - 2 ( x + 3)( 4 – 2x )>0 x -3 2 −∞ +∞ -2 - - - x + 3 - 0 + ...