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R´eseaux et applicationsChristophe Ritzenthaler26 novembre 2007n1 Sous-groupes discrets de RCeci est tir´e de [Sam].n nD´efinition 1.1. Un sous-groupe additif Γ de R est discret ssi pour tout compact K de R ,Γ∩K est fini.nTh´eor`eme 1.1. Soit Γ un sous-groupe discret deR . Alors Γ est engendr´e commeZ-modulepar r vecteurs lin´eairement ind´ependants sur R (r≤n). L’entier r s’appelle le rang de Γ.Fig. 1 – Example de r´eseaun nD´efinition 1.2. Un sous-groupe discret de R est appel´e un r´eseau de R . Un sous-groupendiscret de R de rang n est appel´e un r´eseau maximal.rRemarque 1. Il peut ˆetre utile de consid´erer un r´eseau (abstrait) de rang r et R l’espacevectoriel engendr´e par les g´en´erateurs du r´eseau. On peut ainsi toujours se ramener au casd’un r´eseau maximal.n nExemple 1. Soit M une matrice de taille (s,n) et Γ =, le r´eseau de R engendr´epar les vecteurs colonnes de M. On a rg(M) = rg(Γ). Si les coefficients de M sont entiers,nc’est un r´eseau inclus dans le r´eseau Z .nApplication 1.1 ([Sam, p.66]). Soit t = (ϑ ,...,ϑ )∈R tel que l’un au moins des ϑ soit1 n i∗irrationnel. Pour tout > 0, il existe p ∈Z et q∈N tels que|qϑ −p|≤.i i iRemarque 2. Remarquons que l’intercalation de ϑ entre deux multiples cons´ecutifs de 1/qidonne seulement|ϑ −p /q|≤ 1/2q. De plus il n’est pas utile de prendre un ϑ irrationnel.i i iS’ils sont tous rationnels, on cr´ee un vecteur de longueur n + 1 en rajoutant un ´el´ementirrationnel et le r´esultat est ...