Cours - Polynomes

7766c Christophe Bertault - MPSIPolynômesDans tout ce chapitre,K est l’un des corpsR ouC. La plupart des résultats présentés dans ce chapitre demeurent vrais dansun cadre plus général, mais nous ne nous en préoccuperons pas ici.1 AnneauK[X] des polynômes à une indéterminéeà coefficients dansKAu lycée, les expressions « polynôme » et « fonction polynomiale » sont parfaitement synonymes : dans les deux cas on parlen n−1des fonctions de la forme x→ a x +a x +...+a x+a , où n∈N et où a ,a ,...,a ∈C, définies surC tout entier.n n−1 1 0 0 1 n3 2Si l’on note P le polynôme X +4X +X, vous ne serez pas surpris qu’on vous parle de la fonction P(sin) : elle sera pour3 2vous la fonctionx→ sin +4sin x+sinx. On la noteP(sin) mais comprenez bien que ce n’est qu’une notation carP est définiesurC et la fonction sin n’est pas un nombre. 7 3Dans quelques mois, nous introduirons des tableaux de nombres appelés matrices, comme par exemple M = , que2 13 2nous saurons additionner, multiplier, etc. L’objet M +4M +M aura donc un sens pour nous : le sens d’une nouvelle matriceconstruite à partir de M. Nous la noterons P(M), notation qui ne signifie bien sûr pas queM est un nombre!D’une façon générale, dès qu’on a quelque part en mathématiques des notions telles que l’addition et la multiplication, onest capable de concevoir des polynômes pour les objets correspondants. Cela indique que ce qui compte dans un polynôme, cesont seulement ses coefficients — et leurs positions. Vous ...