Cours-Philomath2

GÖ˛III- L’algèbre entre l’arithmétique et la géométrie III- 1 : La théorie de la mesure III- 2 : Quelques éléments sur l’arithmétique euclidienne III- 3 : Algèbre et géométrie III- 4 : Approche du continu (1) : les fractions continues III-5 : Approche du continu (2) : la définition eudoxienne Les Eléments sont le fruit de l’échec de la tradition pythagoricienne, pour qui tout était nombre, c’est-à-dire pour qui mathématique = arithmétique. La découverte des irrationnels fait voler en éclat le cadre pythagoricien. Les math ont deux objets : les nombres et les grandeurs ; l’arithmétique et la géométrie. Preuve de l’irrationalité = Supposons qu’il existe a, b entiers, premiers entre eux, tels que a/b = 2. Alors a² = 2b². Un carré pair est le carré d’un nombre pair. Donc a est pair. D’où a = 2c et b² = 2c², d’où b est pair. Combinaison entre géométrie et arithmétique : la géométrie garantit existence d’un segment, coté d’un carré double d’un autre donné ; l’arithmétique élémentaire permet de démontrer que le rapport entre les cotés des deux carrés n’est pas un rapport entre entiers. Cette combinaison indique que : 1) on ne peut pas traiter les grandeurs géométriques comme des grandeurs arithmétiques, mais aussi que, ces deux grandeurs partagent des choses en commun (on peut combiner arithmétique et géométrie dans une même preuve). Il y a des méthodes communes aux deux théories math. Algèbre désignera pendant vingt siècles ensemble des méthodes ...