Cours - Nombres complexes

bbc Christophe Bertault - MPSINombres complexes1 Le corps C des nombres complexes1.1 Construction à partir du corps R des nombres réelsDéfinition (Loi de composition interne) Soit E un ensemble. On appelle loi de composition interne sur E, ou plussimplement loi (interne) sur E toute application de E×E dans E. Explication Une loi interne est ce que vous avez appelé une « opération » dans les classes antérieures : l’additiondes réels, la multiplication des réels, l’addition des vecteurs... Par exemple, l’addition des vecteurs est une loi interne car c’estune façon d’associer, à tout couple (~u,~v) de vecteurs, un objet ~u+~v qui est encore un vecteur.Nous supposerons dans ce chapitre que nous connaissons parfaitement l’ensemble R des réels muni de ses deux lois + et×d’addition et de multiplication. Partant de là, nous allons construire le corps C des nombres complexes, c’est-à-dire justifierque cet ensembleC existe sans contradiction avec toutes les propriétés « que nous lui connaissons ». Il ne suffit pas de décréterqu’un monde existe avec telle et telle propriétés pour qu’il existe réellement : encore faut-il qu’il ne soit pas contradictoire.2• Nous partons de l’ensemble R , que nous identifions géométriquement à un plan muni d’un repère orthonormal direct2(O,~ı,~). Tout vecteur et tout point du plan sont ainsi identifiés à leurs coordonnées dans ce repère. On définit alors surR′ ′ 2deux lois de composition internes⊕ et⊗ de la façon suivante; pour tous ...