Cours-MM005

Basic Functional AnalysisMaster 1 UPMCMM005Jean-Fran cois Babadjian, Didier Smets and Franck SueurJune 30, 20112Contents1 Topology 51.1 Basic de nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.1 General topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.2 Metric spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2 Completeness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.1 De nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.2 Banach xed point theorem for contraction mapping . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.3 Baire’s theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.4 Extension of uniformly continuous functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.5 Banach spaces and algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3 Compactness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4 Separability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Spaces of continuous functions 112.1 Basic de nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2 Completeness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3 ...