Cours-M1-0708

Premiµere partieTh¶eorie des ensembles16Chapitre 1Ensembles ordonn¶es, ordinauxCe chapitre est consacr¶e µa l’¶etude des propri¶et¶es fondamentales des ordinaux. Les ordinauxnesonten fait quedes ensemblesmunisd’une certainerelationd’ordre.Pourtantcettestructuresisimplesu–tpourleuraccorderlestatutd’unit¶edemesuredelatailled’unensemble.Ainsi,lesordinauxofirentuneg¶en¶eralisationnaturelledesnombresnaturels.Commechaqueg¶en¶eralisationleur ¶etude n¶ecessite plus de soin en raison des complications suppl¶ementaires qui sont invisiblesau niveau des nombres naturels.1.1 OrdinauxD¶eflnition 1.1.1 Soit E un ensemble muni d’une relation binaire R. Voici quelques propri¶et¶esbien connues dont une telle relation peut jouir :R R est dite r¶e exive si aRa pour tout a2E.AR R est dite antir¶e exive si pour tout a2E, a Ra.2S R est dite sym¶etrique si pour toute paire (a;b)2E , aRb et bRa.2AntiS R est antisym¶etrique si pour toute paire (a;b)2E , aRb et bRa implique a=b.2AS R est asym¶etrique si pour toute paire (a;b)2E , il n’est pas le cas que aRb et bRa.T R est transitive si pour tous a;b;c2E, aRb et bRc implique que aRc.D¶eflnition 1.1.2 Soit E un ensemble muni d’une relation R binaire.1. La relation binaire R sur E sera dite relation d’ordre si R est R, AntiS et T.22. SiR est une relation d’ordre, elle est dite totale ou lin¶eaire si pour toute paire (a;b)2E ,soit a=b, soit aRb, soit bRa.3. Si R est une relation d’ordre, elle est dite stricte si elle est AR, AS ...