Cours - Limite d'une fonction

cbbc Christophe Bertault - MPSILimite d’une fonctionGénéralement, les fonctions deR dansR qu’on manipule en analyse sont définies sur des intervalles, mais il arrive qu’elles le∗soient sur des réunions finies d’intervalles — par exemple R = ]−∞,0[ ∪ ]0,∞[. Pour cette raison, dans tout ce chapitre, leslettres I,J... désignent des réunions finies d’intervalles deR — éventuellement des intervalles deR, mais pas forcément.Définition (Adhérence d’une réunion finie d’intervalles) On note I ,I ,...,I les intervalles disjoints dont I est la1 2 rréunion, a et b les bornes de I avec a 6b , a et b les bornes de I avec a 6b ... et a et b les bornes de I avec a 6b .1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 r r r r r¯ ¯On appelle adhérence de I et on note I l’ensemble I = [a ,b ]∪ [a ,b ]∪...∪[a ,b ].1 1 2 2 r r∗ ¯Exemple [0,1[ = [0,1], ]0,∞[ = [0,∞] (fermé à droite en∞) et R =R.¯Soient f : I −→ R une application et a ∈ I. On dit que f vérife une certaine propriété P au voisinage de a s’il existe unvoisinage V de a tel que f vérifie la propriété P sur I∩V. Par exemple, la fonction sinus est croissante au voisinage de 0; la1fonction cosinus est minorée par et majorée par 1 au voisinage de 0.21 Définitions de la limite d’une fonction1.1 Limite d’une fonction en un point¯ ¯Définition (Limite d’une fonction en un point) Soient f : I −→R une application, a∈I et ℓ∈R. On dit que f admetℓ pour limite en a si :pour tout voisinageV de ℓ, il existe un voisinageVa de a tel que : ∀x∈I∩Va, f(x)∈V .ℓ ℓ ...