cours-L2-A&T

Analyse et TopologieCours L2 MIAndrei TelemanCMI, Universit´e de Provence,39 Rue Fr´ed´eric Joliot-Curie, 13453 Marseille, Cedex 1322 mai 2011n´1 El´ements de topologie dans RProgramme : ouverts, ferm´es, normes ´equivalentes. Compacts, notion deconnexit´e. Un ouvert connexe est connexe par arcs. Normes matricielles.1.1 R´ecapitulatif sur les espaces vectorielsNous rappelons le th´eor`eme fondamental suivant concernant la dimensiondes espaces vectorielsTh´eor`eme 1.1.1 Soit K un corps commutatif et V un K-espace vectoriel.Alors1. V poss`edeunebase,i.e.unsyst`eme(v ) quiestunsyst`emedeg´en´erateuri i2Iet lin´eairement ind´ependant.2. Deux bases(v ) , (w ) ont le mˆeme cardinal, i.e. il existe une bijectioni i2I j i2j'I!J.Si V poss`ede une base finie a` n ´el´ements, alors le nombre d’´el´ements n ned´epend pas de la base choisie et s’appelle la dimension de V. Tout K-espacenvectoriel de dimension n est isomorphe `a K .Remarquons que l’espace vectoriel K[X] des polynomes `a coe!cients dansK est un espace vectoriel de dimension infinie : en e↵et le syst`eme d´enombrable2 k kinfini (1,X,X ,...,X ,...) = (X ) est une base de K[X].k2NDanscecoursnousallonsconsid´ererquelquesespacesvectorielsdedimensioninfinie remarquables :– L’espace F(M,K) des fonctions d´efinies sur M a` valeurs dans K est unespace de dimension m si l’ensemble M a m ´el´ements, et de dimensioninfinie si M est infini.1– SiK =R ouC, le sous-espace B(M,K)⇢ F(M,K) des fonctions born´eesM ...