Cours - Introduction a l'algebre lineaire

c Christophe Bertault - MPSIIntroduction à l’algèbre linéaireDans tout ce chapitre,K est l’un des corpsR ouC. Tous les résultats présentés dans ce chapitre demeurent vrais siK est uncorps quelconque — à l’exception de ceux du paragraphe sur les symétries.La notion d’espace vectoriel introduite dans ce chapitre est un nouvel exemple fondamental de structure algébrique — aprèsles groupes, les anneaux et les corps. Cependant, alors que vous n’aviez pratiquement rien à savoir sur les groupes, les anneauxet les corps, on exige de vous au contraire que vous sachiez tout — ou presque — sur les espaces vectoriels en fin de secondeannée.Comme nous le verrons, la notion d’espace vectoriel généralise, comme son nom l’indique, les notions de vecteurs du planet de l’espace introduites au lycée. Malheureusement pour vous qui débutez, elle les généralise tellement qu’on peut parfois nepas comprendre quel rapport il y a entre nos petits vecteurs avec des flèches et les vecteurs tels que nous allons les pratiquerà présent. Vous devez toutefois vous forcer à vous représenter le plus possible les résultats des espaces vectoriels en général aumoyen des concepts de la géométrie classique que vous connaissez; sans cela vous êtes perdus.La théorie mathématique dont l’objet d’étude est la structure d’espace vectoriel s’appelle l’algèbre linéaire.1 Espaces vectoriels1.1 DéfinitionDéfinition (Espace vectoriel) On appelle K-espace vectoriel ou espace vectoriel sur K tout triplet (E,+ ...