Cours-Introduction

rD¶D¶DD¶D¶¶¶¶¶¶rDr¶DeDr¶¶¶¶DDDUNIVERSITE DE BOURGOGNE L3-MATHEMATIQUES´ ´LM5: Analyse Numerique Elementaire,INTRODUCTION1. Un exemple: l’e´quation de la chaleurOn chauffe une barre de longueur 1 pose´e le long de l’axe des abscisses entre l’origine et le point d’abscisse 1. Onconnaˆıt la tempe´rature de la barre au temps t = 0 en tout point de la barre, soit u (x).0On se propose de re´soudre le proble`me d’e´volution suivant:de´terminer la tempe´rature de la barre en tout point d’abscissex et au temps t > 0, soit u(x,t) en supposant que les deux extre´mite´s de la barre sont maintenues a` tempe´rature constante,suppose´e nulle ce qui se traduit par u(0,t)= u(1,t)= 0,∀t> 0 (conditions aux bords). Si (x,t) est la densite´ de la quantite´de chaleur fournie a` la barre au point d’abscisse x et au temps t cela revient a` re´soudre : 2u u − = (x,t) 0< x< 1 t > 02t x (∗).u(x,0) = u (x) 0≤ x≤ 1 0u(0,t) = u(1,t) = 0 t > 02. Re´solution nume´rique par diffe´rences finies:+(a) Maillage de [0,1]×R :1 iOn se donne N ∈N et on pose h = , le pas sur [0,1]. On associe les points x = ih = ,i = 0..N+ 1 deiN+1 N+1+[0,1]. De meˆme on se donne un pas t et on associe les points t = n t, n∈N deR .h et t sont destine´s a` tendrenvers 0.Les points du maillage sont{(x,t )}, i= 0..N, n∈N.i nnOn cherche une approximation nume´rique de u(x,t ) note´e u .i n i(b) On e´crit le syste`me (∗) aux points du maillage(x ,t ):i n2u(x ,t ) u(x,t ) i n ...