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Mod´elisation et calcul des interfaces bi-fluidesPierre.Saramito@imag.fr19 d´ecembre 2001Copyright (c) 2001 Pierre SaramitoCopyleft : cette œuvre est libre, vous pouvez la redistribuer et/ou la modifier selon lestermes de la Licence Art Libre. Vous trouverez un exemplaire de cette Licence sur le sited’Art Libre http://www.artlibre.org ainsi que sur d’autres sites.21 Introduction aux ´equations de Navier-Stokes1.1 Conservation de la masseIntroduisons les notations suivantes :ρ(x,t) la densit´e au point x =(x ,x ,x ) et `a l’instant t.1 2 3u(x,t) =(u (x,t)) la vitesse au point x et `a l’instant t.i 1≤i≤3ΩVxu(x,t)´Fig. 1 – Ecoulement dans un domaine Ω.3SoitΩ⊂R ledomaineouvertborn´eoccup´eparlefluideetV ⊂ Ωunsous-domaineouvertr´egulier quelconque, comme repr´esent´e sur la figure 1. La conservation de la masse dans levolumeV exprime que la variation de la masse totale de fluide contenu dansV `a l’instantt est ´egale au flux de masse entrant `a travers ∂V : Z Zdρ(x,t)dx =− ρ(x,t)u(x,t).n(x)dsdt V ∂Vou` n est la normale unitaire sortante `aV sur ∂V. Rappelons la formule de Stokes :Z Z1 3v.nds= divvdx, ∀v∈ (H (V))∂V Vetappliquons cetteformule aumembre de droitedel’´equation de conservationde la masse,avec v =ρ(.,t)u(.,t). Apr`es permutation de la d´erivation en temps et de la somme sur Vdans le membre de gauche, il vient : Z∂ρ+div(ρu) dx =0∂tV3Cette relation ´etant vraie pour tout voisinageV d’un point quelconque x de ...