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LE CALCUL INTEGRAL §1 Introduction 1.1 Un peu d’histoire ème• On désigne par calcul infinitésimal l’outil de calcul élaboré à parti du XVII siècle mettant en jeu des quantités « infiniment petites ». Ses principales applications sont le calcul différentiel (notion de vitesse, de tangente à une courbe, de dérivée…) et le calcul intégral (calcul de la longueur d’une courbe, de l’aire d’une surface, du volume d’un solide). ème• Les mathématiciens grecs se méfiaient de l’"infini" .Dès la seconde moitié du V av. J.-C, Zénon d’Elée avait mis en évidence les paradoxes rencontrés quand on essayait de le manipuler, par exemple, dans une opération aussi simple que la èmedichotomie, division d’une quantité par 2 répétée à l’infini (paradoxe de la flèche ou de Achille et la tortue). Archimède au III s. av. J.-C., mais déjà Eudoxe avant lui, utilisait la méthode d’exhaustion (ainsi appelée par Grégoire de Saint-Vincent vers 1647) de manière systématique dans ses ouvrages pour démontrer des résultats sur les aires et les volumes. Ce n’est pas une méthode de découverte, mais un procédé de vérification d’un résultat connu ou tout au moins supposé préalablement. Pour la mettre en œuvre, on encadre la quantité à étudier par des valeurs aisément calculables, et on compare ces bornes directement à la valeur annoncée pour la quantité calculée. Une double démonstration par l’absurde permet de conclure que la quantité ne peut être ni inférieure ni supérieure à la valeur ...