Cours - Geometrie elementaire du plan

6c Christophe Bertault - MPSIGéométrie élémentaire du plan1 Pré-requisConformément au programme, on suppose connus dans ce chapitre :• les notions de plan, de point et de distance entre deux points;• la notion de vecteur, dont : norme, addition et multiplication par un réel, colinéarité, relation de Chasles;• la notion de barycentre, dont : associativité;• la notion d’orthogonalité, dont : théorème de Pythagore;• les notions d’orientation et d’angle orienté de vecteurs, dont : relation de Chasles, mesure.Précisons tout de même rapidement quelques-uns de ces points.Définition (Colinéarité) Soient ~u et ~v deux vecteurs.On dit que ~u et~v sont colinéaires s’il existe λ∈R tel que~v =λ ~u ou u~ =λ~v.$$$ Attention ! La définition « il existe λ∈R tel que ~v =λ u~ » qu’on a parfois en tête est incorrecte : le « ou » est~ ~nécessaire. Pourquoi? Avecla définition sans «ou » dans le cas~u = 0, le seul vecteur~v colinéaire à~u est 0, alors qu’intuitivementtout vecteur est colinéaire au vecteur nul.Définition (Point pondéré et barycentre d’une famille finie de points pondérés)• On appelle point pondéré tout couple (A,λ) constitué d’un point A du plan et d’un réel λ.n X• Soit (A ,λ ) une famille de points pondérés. On pose : Λ = λ (appelé poids total de la famille).k k k16k6nk=1nX −−→1) Si Λ = 0, le vecteur λ MA ne dépend pas du choix du point M.k kk=1nX −−→~2) Si au contraire Λ = 0, il existe un unique point G du plan pour lequel λ GA = 0, appelé le ...