cours-geometrie-affine1

66Universit´e de Paris 7 CAPES Ecrit: 2001-20022 G´eom´etrie affine2.1 Espaces affines. D´efinitions ´el´ementairesNous reviendrons sur la notion de groupe op´erant sur un ensemble dans la section isom´etrie.• D´efinition: Soient (G,∗) un groupe, et E un ensemble (on note e l’´el´ement neutre de G). UneactiondeGsurE estladonn´eed’uneapplication: ω : G×E → E (onnoteraω(g,a) : g∗a)(g,a) 7→ ω(g,a)0 0 0v´erifiant les propri´et´es suivantes: ∀a∈E,e∗a = a et∀g,g ∈ G,∀a∈E : (g∗g )∗a = g∗(g ∗a).Ex: Soit E un espace vetoriel. L’addition dans E donne une action du groupe (E,+) surl’ensemble E.•D´efinition: (Espace affine) Un espace affine est la donn´ee d’un ensembleE, d’un espace vectoriel~ ~E, et d’une action deE v´erifiant les propri´et´es suivantes:1~ ~∀a∈E,∀v∈E,(v+a = a⇒ v = 0), et (∀a,b∈E,∃v∈E,v+a = b)~L’espace vectoriel E est appel´e la direction de E, et par d´efinition la dimension d’un espace affinesera celle de sa direction. Un ´el´ement deE est appel´e un point.~ ~Dans toute la suite (E,E,ω) d´esigne un espace affine de dimension finie sur un corps k. (ie E estun k-espace vectoriel)−→~• Propri´et´e: ∀a,b∈E,∃!v∈E,v+a = b on note ab le vecteur v.Ex: Montrer la relation de Chasles−→ →−• D´efinition: (Parall´elogramme) a,b,c,d ∈ E. (a,b,c,d) est un parall´elogramme si ab = cd.→− →− →−−→NB: On a ab = cd⇔ ac = bd~•D´efinition: (Translations) Soit u∈E. L’application t : E → E est appel´ee translationum 7→ u+mde vecteur u.~ ~• Propri´et´e: On a: ∀u,v ∈ E,t ◦t = t ,t = id ...