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6Geometrie projective et algebriqueChristophe Ritzenthaler1 Geometrie projective1.1 Espace projectifSoit k un corps et n > 0 un entier. On dit que deux n + 1-uplets d’elements de k0 0 0 0(x ;x ;:::x ) et (x ;x ;:::;x ) sont equivalent si il existe 2 k tel que x = x pour0 1 n i0 1 n i0 0 0tout 0in. On note (x ;x ;:::x ) (x ;x ;:::x ).0 1 n 0 1 nn n+1De nition 1.1. L’espace projectif de dimension n sur k note P est l’ensemble (k nf0g)=. Ses elements sont les classes d’equivalence de n + 1-uplets, notes (x :x ::: :x ).0 1 nn nL’espace projectif P contient de maniere naturel un espace a ne A de m^eme dimen-nsion : a (x : ::: : x ) avec x = 0 on associe le point (x =x ;x =x ;:::;x =x )2 A .0 n n 0 n 1 n n 1 nn nInversement, au point (x ;:::;x )2A on associe le point (x :x :::: :x : 1)2P .0 n 1 0 1 n 1Ainsi, les points de l’espace projectif tel que x = 0 s’apparentent aux ‘points a l’in ni’.n1.2 GeometrieDe nition 1.2. Soit f2 k[x ;:::;x ] un polyn^ ome homogene non nul. On appelle hyper-0 nnsurface projectiveC d’equation f = 0 l’ensemble des points (X : x : :::X )2 P tel que0 1 nf(X ;X ;:::;X ) = 0.0 1 nnL’hypersurface a ne associee est l’ensemble des points ( x ;:::;x )2k tel quef(x ;x ;:::;x ; 1) =0 n 1 0 1 n 10.Si n = 2,C est appelee courbe projective.Inversement etant donneC, on poseI(C) l’ideal des polyn^ omes homogenes qui s’annulentsurC. La donnee du polyn^ omef ou de l’hypersurfaceC est presque equivalente. ...