Cours - Fonctions vectorielles d'une variable vectorielle.–

Continuité des fonctions vectorielles E , F et G désignent des espaces vectoriels munis de normes notées . , . et . ou indifféremment E F G. . Les concepts qui suivent sont inchangés par passage à une norme équivalente. I. Généralités A désigne une partie de E . 1°) Définition Déf : On appelle fonction vectorielle définie sur A et à valeurs dans F toute application f :A→F . On note F (A,F ) l’ensemble de ces fonctions. Déf : Pour f ,g :A→F et λ∈K , on définit les fonctions λ.f :A→F et f+g :A→F par : ∀x∈A , (λ.f )(x)=λ.f (x) et (f+g)(x)=f (x )+g(x) . Pour α :A→K et f :A→F , on définit la fonction α.f :A→F par : ∀x∈A , (α.f )(x)=α(x).f (x ) . SiF est une algèbre, on définit la fonction fg :A→K par : ∀x∈A , (fg)(x)=f (x)g(x) . Prop : F (A,F ) est un K -espace vectoriel et une K -algèbre si F en est une. 2°) Applications bornées +Déf : Une application f :A→F est dite bornée ssi ∃M∈ℝ ,∀x∈A, f (x) ≤M . On note B(A,F ) l’ensemble des fonctions bornées de A vers F . Prop : B(A,F ) est un sous-espace vectoriel de F (A,F ) (éventuellement une sous-algèbre). 3°) Applications lipschitziennes 3°) Applications lipschitziennes +Déf : Une application f :A⊂E→F est dite lipschitzienne ssi ∃k∈ℝ ,∀x,y∈A, f (x)−f (y) ≤k x−y . F EProp : Soit f ,g :A⊂E→F et λ∈K . Si f et g sont lipschitziennes alors f+g et λf aussi. Prop : Soit f :A⊂E→F et g :B⊂F→G telles que f (A)⊂B . Si f et g sont lipschitziennes alors gf aussi. Théorème : Soit f ∈L(E,F ) . On a ...