Cours - Fonctions usuelles

777c Christophe Bertault - MPSIFonctions usuellesLes résultats de ce chapitre doivent être connussur le bout des doigts. Beaucoup d’entre eux sont de simples rappels.1 Fonction valeur absolueDéfinition (Fonction valeur absolue) √ x si x> 02• Soit x∈R. On appelle valeur absolue de x le réel : |x| = x = −x si x< 0.h iPour tout x∈R : |x|> 0 et |x| = 0 ⇐⇒ x = 0 . y =|x|Egalement, pour tous x,y∈R : |xy| =|x|.|y|.∗• La fonction valeur absolue est paire, continue surR et dérivable surR — pas en 0.• Une valeur absolue peut toujours s’interpréter comme une distance : pour tous réels x et y,|x−y| est la distance entrex et y sur la droite réelle.ε ε yx−ε x x+εInégalité triangulaire : |x|−|y| 6|x±y|6|x|+|y|. |x−y|Enfin pour tous x,y∈R et pour tout ε> 0 :|x−y|<ε ⇐⇒ x−ε 1(x+1)−2x−(x−1) = 2−2x si 06x< 1Pour tout x∈R : f(x) = (x+1)+2x−(x−1) = 2x+2 si −16x< 0 −(x+1)+2x−(x−1) = 0 si x<−1.2 Fonctions puissances (entières), polynomialeset rationnelles2.1 Fonctions puissances (entières)Définition (Fonctions puissances (entières))n n• Soient x∈R et n∈N. On appelle x puissance n, noté x , le réel x =x×x×...×x.| {z }n fois1n nSi n est un entier strictement négatif, alors−n∈N et on appelle x puissance n, notée x , le réel x = ...