Cours - Fonctions circulaires

bbbbbbc Christophe Bertault - MPSIFonctions circulairesDéfinition (Fonctions sinus et cosinus)• Définition analytique : L’existence des fonctions sinus et cosinus est admise. Ces fonctions sont définies et dérivables(donc continues) surR et 2π-périodiques. La fonction sinus est impaire, la fonction cosinus paire et en outre :′ ′sin = cos et cos =−sin.y = cosxy = sinx3π 3π2 2π π π π2π 2π2 2• Lien avec le cercle trigonométrique :2 2Pour toutx∈R : sin x+cos x = 1.2 2 2Réciproquement, pour tout couple (x,y)∈R tel que x +y = 1, il existe θ∈R, sinxuniqueà2π près,telque(x,y) = (cosθ,sinθ).Géométriquement,cerésultatsignifie xque tout point du cercle trigonométrique peut être écrit sous la forme (cosθ,sinθ)cosxavec unicité du θ à 2π près.• Résolution d’équations : Pour tous x,y∈R :sinx = siny ⇐⇒ x≡y mod 2π ou x≡π−y mod 2πcosx = cosy ⇐⇒ x≡y mod 2π ou x≡−y mod 2π• Transformations remarquables : Pour toutx∈R : π πsin(x+π) =−sinx sin(π−x) = sinx sin x+ = cosx sin −x = cosx2 2 π πcos(x+π) =−cosx cos(π−x) =−cosx cos x+ =−sinx cos −x = sinx2 2Ces relations se lisent toutes sur le cercle trigonométrique. Il ne faut donc pas les apprendre bêtement, mais les comprendre.• Formules d’addition et de produit : Pour tous x,y∈R :x+y x−ysinx+siny = 2sin cos 2 21sin(x+y) = sinxcosy +cosxsinysinxsiny = cos(x−y)−cos(x+y)2 x+y x−ysinx−siny = 2cos sinsin(x−y) = sinxcosy−cosxsiny 2 21sinxcosy = sin(x+y)+sin(x−y)2 x+y x−ycos(x+y) = ...