Cours-FI-VIII

4.5. ANALYSE MATHEMATIQUE 1551. Montrer que Pn i npni=1pW =p;nnp(1 p)2. Lorsque ! 0, veri er les equivalences suivantes p pT T0 2 ?np ’ p ( + + = ) et np ’ p + = 2 2 et pp p T0 0 ? ?np (1 p )’ np (1 p )’ p(2 )et en n 21 K k ’ p log + T +p0s 22 0 En deduire les estimations 0 2np k 1 0p p’ T + + log (s =K)00 0 2np (1 p ) T ? 2np k 1 0p p’ T + log (s =K)0? ? 2np (1 p ) T3. En utilisant le fait que ! !k np n 1 k np0 0p pF (k ) = P W ’ Fn;p 0 p;nnp(1 p) np(1 p)montrer que l’on a 1 2pV ( ) ’ s F T + =2 + log (s =K)0 0 0 T 1 T 2pe K F T =2 + log (s =K)0 T4.5 Analyse mathematique4.5.1 ActualisationOn considere un marche nancier de ni, sur un espace probabilise et ltr e ( ; (F ) ;P),k 0knpar l’evolution d’un couple d’actifs 1 1 1S = S (1 + U )k k 1 k2 2 2S = S (1 + U )k k 1 kLe premier titre a un r^ole bien particulier. Il represente un placement sans risque, avec unrendement previsible; c’est a dire que1S1 k81 k n (1 + U ) = 2Fk 1k 1Sk 1 156 CHAPITRE 4. MATHEMATIQUES FINANCIERESOn conviendra que l’on a1 1S = 1 ; et (1 + U (!)) > 10 kpour chaque alea !2 , et pour tout 1 k n.Le rendement de l’actif risque n’est pas previsible, sinon adapte a la ltration d’information2S2 k81 k n (1 + U ) = 2Fkk 2Sk 1On conviendra que la valeur initiale de cet actif est connues1 1S = s > 0 ; et (1 + U (!)) > 000 kpour chaque alea !2 , et ...