cours et exercices corrigés

·Annexe au Mathématiques d iscrètesChapitre 2Jean LoryA. Anneau des entiers mo dulo n1. Les entiers modulo 6On vous demande ici d’étudier cet exercice corrigé.1.Construire la table de Pythagore de l’addition dans Z .6 2.Construire la table de Pythagore de la multiplication dans Z .6 3 .Etudier la structure de ( Z , + , ).6 4.Préciser si l’ensemble des entiers modulo six possède des éléments diviseurs de zéro, inversibles, nilpotents ou encore idempotents.1. Table de Pythagore de l’addition dans Z . 6+ 0 1 2 3 4 50 0 1 2 3 4 51 1 2 3 4 5 02 2 3 4 5 0 13 3 4 5 0 1 24 4 5 0 1 2 35 5 0 1 2 3 42. Table de Pythagore de la multiplication dans Z . 6x 0 1 2 3 4 50 0 0 0 0 0 01 0 1 2 3 4 52 0 2 4 0 2 43 0 3 0 3 0 34 0 4 2 0 4 25 0 5 4 3 2 13 . Etude de l’additionL’addition est une loi de composition interne dans Z car dans chaque case 6on trouve un élément de Z et un seul.6˛·˛""I.U .T. d’Amiens D.U .T. Informatique Première annéeL’addition est commutative dans Z car la table est symétrique par rapport à 6sa première diagonale.L’addition est associative dans Z , c’ est à dire que:6x,y,z Z , x + y + z = x + y + z( ) ( )6Ceci ne peut pas être prouvé avec la table et nécessite donc une preuve spécifique:x,y,z Z ,x + y + z = x + y + z( )6= x + y + z( )= (x + y) + z= x + y + z= x + y + z( )L’ensemble des entiers modulo 6 admet un élément neutre: pour 0l’addition, comme le montre le contenu de la seconde ligne et de la seconde ...