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Ł÷öÌ·ÌçÌ÷æ·ŁÌçççççłö÷ł·÷·÷·÷æAlgèbre linéaire & géométrie CoursC hap 2 Structures algébriques fondamentalesPartie 4 Structure d’anneau et de corpsI DéfinitionSoit A un ensemble muni de deux LCI + et .On dit que ( A , + , ) est un anneau lorsque :• ( A , + ) est un groupe abélien• est associative dans A• est distributive par rapport à + dans ASi de plus la LC I est commutative, l’anneau est dit commutatif.L’ élément neutre de A pour l’addition est appelé neutre de l’anneau, on le note 0 .AL’ élément neutre de A pour la multiplication, s’ il existe, est appelé unité de l’anneau, on le note 1 . L’ anneau est alors dit unitaire.AExemple 1Pour l’addition et la multiplication, chacun des ensembles ci-dessous est un anneau commutatif unitaire. ZZ ID Q IR C . Le neutre est 0. L’ unité est 1.Exemple 2( M ( IR ) , + , x ) est un anneau unitaire non commutatif.3,3 0 0 0O = 0 0 0Le neutre est . 0 0 01 0 0I = 0 1 0L’ unité est .0 0 1Page 15"˛ì·"·î··""˛""ï˛ï·"""˛˛î˛í˛ì˛·˛·ï·ï·í˛˛""˛"I.U .T. d’Amiens D.U .T. Informatique Première a nnéeII R ègles d e calcul d ans un anneau1. Notion de multiple n termes égauxDéfinitionsi n> 0 alors n a = a + a + a + ... + asi n= 0 alors n a = 0An ZZ,a A ,si n< 0 alors n a = ( - n ) ( -a ) = ( -a ) + ( -a ) + ( -a ) + ... + ( -a )( - n ) termes égauxPropriétés (admises)n,m ZZ,a A ,na + ma = ...