Cours - Espaces vectoriels de dimension finie

6c Christophe Bertault - MPSIEspaces vectoriels de dimension finieDans tout ce chapitre,K est l’un des corpsR ouC. Tous les résultats présentés dans ce chapitre demeurent vrais siK est uncorps quelconque — sauf les deux derniers exemples du chapitre — mais nous ne nous en préoccuperons pas ici.La notion de dimension appartient aujourd’hui au vocabulaire de tout un chacun. Il est entendu qu’une droite ou une mêmecourbe est de dimension 1; qu’un plan ou même une surface est de dimension 2; et que nous vivons dans un espace à troisdimensions. Il n’est cependant pas forcément aisé de donner un sens rigoureux à ces idées courantes. C’est précisément ce qu’onsouhaite faire ici : proposer une définition axiomatique de la dimension et en faire la théorie.Définition (Espace vectoriel de dimension finie) Soit E unK-espace vectoriel. On dit que E est de dimension finie siE possède une famille génératrice (finie). Explication Pourquoi préciser « finie » dans cette définition? Une famille génératrice pourrait-elle donc être infinie?Il est vrai que les familles de vecteurs du programme de MPSI sont toutes finies, mais vous étudierez aussi des familles infiniesen deuxième année. En prévision, retenez d’ores et déjà qu’un espace vectoriel de dimension finie, comme son nom le suggère, sevoit imposer une certaine condition de finitude.n ∗Exemple Les espaces vectoriels K (n∈N ) etK [X] (n∈N) sont de dimension finie. On en connaît en effet des famillesngénératrices, puisqu’on en ...