Cours - Equations differentielles lineaires

777777c Christophe Bertault - MPSIEquations différentielles linéairesUne équation différentielle est une équation, dont l’inconnue est une fonction y, exprimée sous la forme d’une relation dans′ ′′ ′ 2 ylaquelle cohabitent à la fois y et ses dérivées y ,y ... Par exemple, y = x e +1 est une équation différentielle. L’ennui, c’estqu’en général les équations différentielles sont très difficiles à résoudre. Nous nous contenterons pour cette raison de travaillerdans le cadre à peu près agréable des équations différentielles linéaires, i.e. de la forme :(n) (n−1) ′′ ′a (x)y +a (x)y +...+a (x)y +a (x)y +a (x)y =b(x) (n est appelé l’ordre de l’équation).n n−1 2 1 0Si la fonction b, appelée le second membre de l’équation, est nulle, on dit que l’équation en question est homogène ou sanssecond membre. L’appellation linéaire de ces équations différentielles est issue de la propriété fondamentale suivante :Si y et y sont deux solutions de l’équation homogène,1 2alors λ y +λ y est encore une solution de cette équation pour tous λ ,λ ∈C.1 1 2 2 1 2Dans tout ce chapitre, I est un intervalle deR etK désigne l’un des corpsR ouC.1 Continuité et dérivabilité d’une fonctionà valeurs complexesDéfinition (Fonction continue/dérivable à valeurs complexes) Soit f :I−→C une application.• Soit a∈ I. On dit que f est continue en a (resp. dérivable en a) si Re(f) et Im(f) le sont. Dans le cas des fonctions′ ′ ′ ′dérivables, on appelle nombre dérivé de f en a, noté f (a), le nombre ...