Cours - Eléments d'algèbre linéaire

Eléments d’algèbre linéaire K désigne un corps de caractéristique nulle. I. Généralités 1°) Espace vectoriel Déf : On appelle K -espace vectoriel tout ensemble E muni d’une loi de composition interne +:E×E →E et d’une loi externe : .:K×E →E vérifiant : (1) (E,+) est un groupe dont l’élément neutre est appelé vecteur nul, (2) ∀x,y ∈E,∀λ,∈K , λ(x +y)=λx +λy , (λ+)x =λx +x , λ(x)= (λ)x et 1.x =x . Prop : Si L est un sous-corps de K alors par restriction du produit extérieur, tout K -espace vectoriel est encore un L -espace vectoriel. Prop : Si E ,…,E sont des K -espaces vectoriels alors E =E ×⋯×E est un K -espace vectoriel pour les 1 n 1 nlois + et . définies par : (x ,…,x )+ (y ,…,y )= (x +y ,…,x +y ) et λ.(x ,…,x )= (λx ,…,λx ) . 1 n 1 n 1 1 n n 1 n 1 nDe plus le vecteur nul de E est alors 0 = (0 ,…,0 ) . E E E1 nProp : Si X désigne un ensemble et E un K -espace vectoriel alors F (X,E) est un K -espace vectoriel pour les lois + et . définies par : λ.f :x֏λ.f (x) et f +g :x֏f (x)+g(x) . ɶDe plus le vecteur nul de E =F (X,F ) est la fonction nulle : 0 :x֏o . 2°) Sous-espace vectoriel a) définition Déf : On appelle sous-espace vectoriel d’un K -espace vectoriel E toute partie F de E vérifiant : (1) F ≠∅ , (2) ∀λ,∈K,∀x,y ∈F , λx +y ∈F . Prop : Si F et G sont des sous-espaces vectoriels de E alors F +G = x +y /x ∈F,y ∈G et F ∩G sont des { }sous-espaces vectoriels de E . b) sous-espaces vectoriels supplémentaires Déf : Deux sous-espaces ...