cours-edp

M´ethodes num´eriques avanc´espour la r´esolutiondes ´equations aux d´eriv´ees partiellesPierre.Saramito@imag.fr15 d´ecembre 2006xtn+1n uX (x)tn1Copyright (c) 2006 Pierre SaramitoCopyleft : cette œuvre est libre, vous pouvez la redistribuer et/ou la modifier selon les termesde la Licence Art Libre. Vous trouverez un exemplaire de cette Licence sur le site d’Art Librehttp://www.artlibre.orgainsi que sur d’autres sites.2Chapitre 1Discr´etisation et algorithmes1.1 IntroductionNous allons introduire ici quelques ´equations aux d´eriv´ees partielles tr`es classiques qui serontpar la suite ´etudi´ees en d´etail. Ces ´equations sont s´el´ectionn´ees parce qu’elles introduisent desdifficult´es sp´ecifiques, par ordrecroissant.Ces´equationssont g´en´eralementissues de probl`emesdedphysique, et le contexte est bri`evement rapell´e. Dans la suite Ω d´esigne un ouvert born´e de R ,avecd = 1,2,3.Eng´en´erald = 3:c’estnotreespacephysique.Pourdes raisonsde sym´etries,ilestparfois possible de r´eduire la dimension des calculs a` d = 1 ou 2. D’autre part, T > 0 repr´esentele temps final pour lequel nous souhaitons r´ealiser les calculs.1.1.1 L’´equation de la chaleurLe probl`eme s’´enonce :trouver φ d´efini de ]0,T[×Ω dans R tel que ∂φρC +u.∇φ −kΔφ = f dans ]0,T[×Ωp∂tφ(t=0,x) = φ (x) dans Ω0φ(t,x) = φ (t,x) sur ]0,T[×∂ΩΓDans ce syst`eme, nous avons introduit un certain nombre de notations :φ(t,x) : la temp´erature, inconnue du probl`eme.φ (x) : la ...