Cours du 23 Octobre 2008

CNAMParis20082009MVA013F.Guiiraud Cours du 23 Octobre 2008 Fonctions réciproques • Fonction monotone sur un intervalle Théorème : Unefonctionstrictementmonotonesurl’intervalle[a,b]effectueunebijectiondecetintervallesur[f(a),f(b)](ou[f(b),f(a)])doncilexisteunebijectionréciproquede[f(a),f(b)](ou[f(b),f(a)])dans[a,b].quiàf(x)faitcorrespondrex. 2Exemple :f:x→ x + 1eststrictementcroissantede[0,+∞[dans[1,+∞[doncilexisteunebijectionréciproquede2 −1[1,+∞[dans[0,+∞[,quel’ondétermineenécrivant:y=x +1⇔x= y1soit f (x) = x1• Graphe de la fonction réciproque −1 −1Passerdefà f revientàéchangerxety,doncsilesaxessontorthonorméslegraphedefetceluide f sontsymétriquesparrapportàlabissectricedesaxesy=x.Exercices:2 +a)Soitlafonctionf:x→2x +5.Montrerqu’elleeststrictementdécroissantesurR .Quelleestsabijectionréciproque?Tracerlesdeuxcourbessurlemêmegraphique.2 + - -festlacomposéedeh:x→2x etdeg:x→x+5,hestdécroissantedeR dans R et g estcroissantedeR 5y 5y+ 2 2dans ]∞,5],f(x)= go h(x) doncfestdécroissantesurR ;y=2x +5⇔x = ⇔x= 2 ...