Cours - Derivabilite

bbbc Christophe Bertault - MPSIDérivabilitéDans tout ce chapitre, les lettres I,J... désignent desréunions finies d’intervalles deR — éventuellement des intervallesdeR, mais pas forcément. Quand on emploiera les notations [a,b] ou ]a,b[, il sera sous-entendu que a et b sont deux réels et quea < b.1 Définitions et premières propriétés1.1 Définitions1.1.1 Dérivabilité en un pointDéfinition (Dérivabilité en un point) Soient f : I −→ R une application et a ∈ I. On dit que f est dérivable en a sif(x)−f(a) ′lim existe et est finie. Cette limite est alors appelée le nombre dérivé de f en a et notée f (a); on la note parfoisx→a x−adf(a) quand le symbole utilisé pour désigner la variable de f est, ou encore Df(a).dCette définition de la dérivabilité en a est équivalente à la suivante :′f(x) = f(a)+λ(x−a)+o(x−a) pour un certain λ∈R, qui se trouve alors être égal à f (a).x→aThéorème (La dérivabilité implique la continuité) Soient f : I−→R une application et a∈ I. Si f est dérivable en a,alors f est continue en a.$$$ Attention ! La réciproque est totalement fausse. Pensez à la fonction valeur absolue en 0. C’est contre-intuitif,mais il existe même des fonctions qui sont continues sur toutR mais dérivables en aucun point.′Démonstration Puisque f est dérivable en a, alors : f(x) = f(a)+f (a)(x−a)+o(x−a). En particulier,x→apuisque x−a = o(1), on a : f(x) = f(a)+o(1), et donc f est bien continue en a. x→a x→a Explication Ladérivabilité def enasignifie ...