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Chapitre 7Géométrie analytique dans l’espace.~~ ~Dans tout le chapitre, l’espace est rapporté à un repère orthonormal (O;i;j;k), sauf mention du contraire.I Outils pour la géométrie dans l’espace.1 Points et vecteurs de l’espace.♠ Propriété 1 Si A(x ;y ;z ) et B(x ;y ;z ) sont des points de l’espace donnés par leurs coordonnées, alors :A A A B B B x +x y +y z +zA B A B A B• I ; ; est le milieu du segment [AB];2 2 2  x −xB A  −→ −→ • AB(x −x ;y −y ;z −z ) ou bien AB .B A B A B A y −y B A z −zB A2 Le produit scalaire.Remarque 1 Si A, B et C sont trois points de l’espace, alors :X Si A, B et C ne sont pas alignés, il existe un unique plan qui contient ces trois points.ABCPX Si A, B et C sont alignés, il existe une infinité de plans qui contiennent ces trois points.1016666102 CHAPITRE 7. GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE DANS L’ESPACE.P1 P2ABCP4 P3−→−→ −→−→SiP est un des plans qui contient A, B et C, alors AB.AC =AB×AC ou bien AB.AC =−AB×AC suivantque les vecteurs sont de même sens ou non. Dans tous les cas, cette valeur ne dépend pas du planP utilisé maisseulement des points A, B et C. En effet, dans le planP, le produit scalaire est défini par la relation :−→−→ 12 2 2AB.AC = AB +AC −BC2On se sert de cette remarque pour définir le produit scalaire de deux vecteurs de l’espace. Définition 1 ~u et ~v sont des vecteurs de l’espace. A, B et C sont des points de l’espace tels que :−→ −→~u =AB ; ~v =ACSoitP un plan qui contient A, B et C. ...