Cours - Courbes parametrees

77c Christophe Bertault - MPSICourbes paramétrées¯Dans tout ce chapitre, I,J... sont des intervalles deR. On appellera adhérence de I et on notera I l’intervalle I augmentéde ses bornes, qui éventuellement ne lui appartiennent pas. Par exemple, [0,1[ = [0,1] et ]0,∞[ = [0,∞].2Quand on écrira « Soit f = (x,y) : I−→R une application », cela signifiera que f est une fonction définie sur I à valeurs2dansR donnée avec ses coordonnées, de sorte que : ∀t∈ I, f(t) = x(t),y(t) .21 Vocabulaire relatif aux fonctions à valeurs dans R2 2 2¯Définition (Limite d’une fonction à valeurs dans R ) Soient f : I−→R une application, a∈ I et ℓ∈R . On dit que f admet ℓ pour limite en a si lim f(t)−ℓ = 0.t→aOn peut montrer que, si elle existe, la limite de f en a est unique; on la note alors limf ou limf(t).a t→a Explication La fonction t→ f(t)−ℓ est définie sur I et à valeurs dans R. La limite « lim f(t)−ℓ = 0 » estt→adonc une limite au sens le plus banal du terme. Pour bien comprendre la définition ci-dessus, il convient seulement de savoir quekf(t)−ℓk représente la distance qui sépare les points f(t) et ℓ : intuitivement, dire que f tend vers ℓ en a revient bien à direque cette distance tend vers 0 lorsque t tend vers a. $$$ Attention ! Cette définition ne prévoit pas le cas des limites±∞ — quel sens aurait la quantité f(t)−ℓ pour2ℓ =±∞? Mais ce n’est pas très choquant, car de toute façon qu’est-ce donc que l’infini dansR ?2 2¯Théorème (Limite et ...