Cours complet sur le calcul integral - TS -

CALCUL INTÉGRAL1. Définition de l'intégrale dans le cas d'une fonction continue positive sur un segment [a, b]1.1. Définition L'unité d'aire yrrSoit P un plan muni d'un repère orthogonal (O ;ij, ).KSoient I, J et K les points définis par : Jr 1 u.a.uur r uuur r uuur r r jOI = i , OJ = et OK = i + j rO I x iOn appelle unité d'aire (notée en abrégé u.a.) l'unité de mesure des aires telle que :Aire(rectangle OIKJ) = 1 u.a.Remarques :rr• OIKJ peut être un carré lorsque le repère (O ;ij, ) est orthonormé.2• Si l'on a, par exemple, OI = 3 cm et OJ = 2 cm, alors une unité d'aire correspond à 6 cm .1.2. Définition Notion d'intégrale d'une fonction continue positive en tant qu'airerrSoit P un plan muni d'un repère orthogonal (O ;ij, ).Soient :• a et b deux réels avec a b.(1) (2)• ƒ une fonction continue (ou continue par morceaux ) et positive sur le segment [a, b].On appelle intégrale de ƒ de a à b l'aire, exprimée en u.a., du domaine D suivant :D = {M(x, y) ˛ P tels que a x b et 0  y  ƒ(x)}(D est le domaine délimité par la courbe de ƒ, l'axe des abscisses et les deux droites verticales d'équations x = a et x = b)b bOn note cette quantité : ƒ()t dt ou ƒ(xx)d? ?a aLes réels a et b s'appellent les bornes de l'intégrale.1 u.a. = une unité d'aireIllustration :yL'aire de D est de mesureCƒFINIE. En effet, ƒ est continuesur le segment [a, b] donc1 D majorée. Il existe donc unrectangle contenant D.a O 1 b xRemarques :La variable t (ou x ...