Cours-ChapitreI

ållåså¥lUNIVERSITE DE BOURGOGNE L3-MATHEMATIQUESAnalyse Nume´rique Ele´mentaire,NORMES MATRICIELLES ET CONDITIONNEMENT1. Rappel sur les normes et les normes matricielles:(a) Notations:n-K est le corpsR ouC.K est l’espace vectoriel surK des colonnes a` n e´le´ments dansK.n-K est muni du produit scalaire usuel note´ (ou` ¯ est la conjugaison complexe):   x y1 1n    t . n . n¯ . .< X|Y >= x y¯ = XY, X = ∈K , Y = ∈K .   i i . .i=1 x yn n-L’espace vectoriel des matrices a` coefficients dansK, a` nlignes et p colonnes est note´M (K). Il est de dimensionn,pnp surK. Quand n= p, on le noteM (K): on a un produit interne qui en fait une alge`bre.n- Soit M∈M (C). On appelle spectre de M , note´ (M), l’ensemble de ses valeurs propres dansC.n(b) Normes: De´finitions+i. Une norme sur une espace vectoriel E surK est une application de E dansR , note´e||.|| , telle que:-||v||= 0⇔ v= 0,-||v + v ||≤||v ||+||v ||, ∀v ,v ∈ E,1 2 1 2 1 2-|| v||=| |||v||∀v∈ E, ∀ ∈C.ii. Une norme sur l’espaceM (K) est appele´e matricielle si et seulement si elle ve´rifie:n||AB||≤||A||||B||, ∀A,B∈M (K).n(c) Equivalence des Normes′ ′i. De´finition: Soient deux normes note´es||.|| et||.|| sur un espace vectoriel E surK.||.|| et||.|| sont e´quivalentessi et seulement s’ il existe deux re´els positifs a et b tels que:′a||v||≤||v||≤ b||v||, ∀v∈ E.ii. Cas de la dimension finie:Dans un espace de dimension finie , toutes les normes sont e´quivalentes.iii. Remarques:En dimension ...