Cours : Calcul différentiel et Intégral

Cours “Calcul Différentiel et Intégral I”Wolfgang Bertram8 décembre 2006ii IntroductionIntroductionLe sujet de ce cours est l’étude et l’analyse des fonctions de plusieurs va-n mriables, f :R →R , ou, plus généralement f : V → W, où V et W sontdes espaces vectoriels sur R. Pour donner une idée du plan du cours, onpeut le diviser en trois parties principales :I. La continuité : Notions de base de la topologie générale.II. Différentiation.III. Eléments d’intégration.Les fonctions que nous allons étudier sont des fonctions « régulières ». Le0premier degré de régularité, noté C , est la continuité; le degré suivant,1noté C , est la continue différentiabilité; encore plus régulières sont les2 3 ∞fonctionsC ,C , ..., puisC («lisse»). Ces propriétés seront étudiées endétail dans les parties I et II, et nous dirons aussi quelques mots sur lesfonctions les plus régulières qui sont les fonctions analytiques.Quantà lapartieIII,commedanslecasd’unevariable,l’intégration adeuxaspects, a priori complètement différents l’un de l’autre : d’abord, le calculd’aires (ou de volumes); cet aspect est étudié dans la théorie de la mesurequi constitue le sujet d’un autre cours. Ensuite, l’intégration joue aussi lerôle d’une « réciproque de la différentiation » : elle permet de « retrouverle chemin parcouru à partir du relevé de vitesse ». Plus précisément, larecherchede primitives mène au problème beaucoup plus vaste d’«intégrerune équation différentielle», et la relation ...