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777Autour des groupes de réflexions Master 2 Mathématiques fondamentalesCours : Michel Broué Université Paris VII Denis DiderotTD : Vincent Beck Année 2005 2006Représentation des groupes finis1 G-moduleDéfinition 1 G-module. Soient k un corps et G un groupe fini. Un G-module est un k-espace vectorielde dimension finie muni d’un morphisme de groupe ρ : G→GL(V). Le morphisme ρ est appelé morphismestructurel ou morphisme associé à la structure de G-module de V. On dit alors que V est une représentationde G. Lorsqu’on a besoin de préciser le corps de base, on note kG-module plutôt que G-module.GDéfinition 2-morphisme. Soient k un corps, G un groupe fini et V ,V deux G-modules. Pour i = 1,2,1 2on note ρ : G→GL(V ) le morphisme structurel. Un G-morphisme (ou morphisme de G-module) f : V →Vi i 1 2est une application k-linéaire telle que f ◦ρ (g) =ρ (g)◦f pour tout g ∈ G. On note Hom (V ,V ) l’espace1 2 G 1 2vectoriel des G-morphismes de V dans V .1 2Définition 3 G-isomorphisme. Soientk un corps,G un groupe fini etV ,V deux G-modules etf :V →V1 2 1 2′ ′ ′un G-morphisme. S’il existe un G-morphismef :V →V tel quef◦f = id etf ◦f =id , on dit quef est2 1 V V2 1un G-isomorphisme. On vérifie aisément qu’un G-morphisme bijectif est un G-isomorphisme. On dit que V et1V sont G-isomorphes (ou plus simplement isomorphe s’il n’y a pas d’ambiguité) s’il existe un G-isomorphisme2G-mod.f :V →V . On note alors V ≃ V .1 2 1 2Définition 4 Sous-G-module. Soient k un corps, G un groupe ...