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Autour des groupes de réflexions Master 2 Mathématiques fondamentalesCours : Michel Broué Université Paris VII Denis DiderotTD : Vincent Beck Année 2005 2006Représentation des groupes finisCorrigéa)id est l’élément neutre deGL(k). L’applicationρ est donc le morphisme de groupestrivial deG dansGL(k).kElle définit donc une structure de G-module sur k.×b) L’application ϕ:GL(k)→k définie par ϕ(f)=f(1) est un isomorphisme de groupes. Ainsi se donner une×structure de G-module sur k revient à se donner un morphisme de groupes de G dans k . De plus, comme× ×k est commutatif, tout morphisme de groupes de G dans k passe au quotient par le groupe dérivée de G.×Donc, se donner un morphisme de groupes de G dans k revient à se donne un morphisme de groupe de×G/D(G) dans k .Par ailleurs, siρ :G→GL(k) etρ :G→GL(k) sont deux morphismes de groupes définissant sur k deux1 2structures de G-module G-isomorphes alors ρ =ρ . En effet, si f est un isomorphisme de G-module entre1 2les structures associéesàρ etρ alorsf◦ρ (g)=ρ (g)◦f pour toutg∈G. CommeEnd (k) est commutatif1 2 1 2 ket f bijective, on a alors∀g∈G, f ◦ρ (g)=ρ (g)◦f =f ◦ρ (g) et donc ρ (g)=ρ (g).1 2 2 1 2Finalement, le nombre de classe d’isomorphisme de structure de G-module sur k est égal au nombre de× ×morphismes de groupes de G dansk ou encore au nombre de morphismes de groupes de G/D(G) dans k .′c) Le sous-espace V est stable par ρ(g) pour tout g ∈ G. On en déduit que ρ(g) induit par restriction un′ ′ ...