Cours-bases

66666Universit´e de Provence -Licence MI 1`ere ann´ee-S2Algèbrelinéaire16 CaractérisationdesbasesDans toute cette section E est unK-espace vectoriel avecK un corps (R ouC).Proposition 1. Une famille de vecteurs e = (e ) est li´ee si et seulement si un des vecteursi i∈Ide e s’´ecrit comme C.L. des autres.D´emonstration. Si e est li´ee alors il existe une C.L. de vecteurs de e a` coefficients non nuls quiXdonne 0 :∃J ⊂I fini tel que λ e = 0 avec les λ dans le corpsK et∃k∈J tel que λ = 0.i i i ki∈JX X−1Donc λ e + λ e = 0 d’ou` e =− λ λ e : e est C.L. des autres vecteurs de e.k k i i k i i kki∈J\{k} i∈J\{k} XR´eciproque:Sie ∈eestC.L.desautresvecteursdeealors∃J ⊂I finitelquee = λ ek k i ii∈J\{k}Xavec les λ dans le corpsK. Donc 0 =e − λ e . La famille est li´ee. i k i ii∈J\{k}3Exemple1. DansR ,{(2,0,0),(0,3,0),(4,6,0)} estli´eecar(4,6,0) = 2×(2,0,0)+2×(0,3,0).Proposition2. Une famille e = (e ) est une base de E si et seulement si tout vecteur de Ei i∈Is’´ecrit d’une mani`ere unique comme C.L. des vecteurs de e.D´emonstration. (⇒) Comme e est g´en´eratrice, tout vecteur s’´ecrit comme C.L. des vecteursX Xde e. Supposons que x∈E soit ´egal `a deux C.L. d’´el´ements de e : x = λ e = μ e aveci i i ii∈J i∈LJ ⊂I, L⊂I tous deux finis. Si on pose M =J∪L, alors M est fini. On d´efinit alors λ si i∈J μ si i∈L′ i ′ iλ = μ =i i0 si i∈M\J 0 si i∈M\LX X X′ ′ ′ ′ ′On a alorsx = λ e = μ e d’ou` (λ −μ )e = 0. Donc∀i∈M,λ =μ car la famillei i i ii i i i ii∈M ...