Cours - Arithmetique des entiers relatifs

6666c Christophe Bertault - MPSIArithmétique des entiers relatifs1 Division dans Z1.1 Relation de divisibilitéDéfinition (Divisibilité, diviseur, multiple) Soient a,b∈Z. On dit que a divise b, ou que a est un diviseur de b, ou queb est un multiple de a, s’il existe k∈Z tel que b = ak; cette relation entre a et b se note a|b.Théorème (Propriétés de la relation de divisibilité) Soient a,b,c,d∈Z.(i) La relation de divisibilité | surZ est réflexive et transitive; elle n’est cependant pas antisymétrique puisque :a|b et b|a ⇐⇒ |a|=|b| ⇐⇒ a = b ou a =−b.En revanche, sa restriction àN l’est : c’est une relation d’ordre.(ii) Combinaisons linéaires : Si d|a et si d|b, alors d|(au+bv) pour tous u,v∈Z.k k(iii) Produit : Si a|b et si c|d, alors ac|bd. En particulier, si a|b, alors a |b pour tout k∈N.(iv) Multiplication/division par un entier : Si d = 0 : a|b ⇐⇒ ad|bd.Démonstration(i) La réflexivitéetla transitivité de| ontété démontrées dansle chapitre surles relations d’ordre. Contentons-nous de montrerl’équivalence relative au défaut d’antisymétrie de |. L’une des deuximplications est triviale :si|a| =|b|, i.e. a = b ou a =−b, il est clair que a|b et que b|a.Réciproquement, supposons qu’on ait a|b et b|a. Alors il existe k,l ∈Z tels que b = ak et a = bl. Du coupb = bkl. Deux cas se présentent alors : si b = 0, alors a = bl = 0 et on a donc bien |a| =|b|; si au contraireb = 0, alors kl = 1 et donc, puisque k et l sont entiers, on a soit k = l = 1, soit k = l = ...